I- lý thuyết cần nhớ.
1. Định nghĩa.
Với mọi a, b(N (b(0) ta luôn tìm được số tự nhiên r sao cho
a = bq + r (0 ( r < b)
a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
- Nếu r = 0 ta được phép chia hết, tanói rằng a chia hết cho b (a: b), hay a là bội của b, hay b chia hết a, hay b là ước của a (b/a).
- Nếu r > 0,ta được phép chia có dư, ta nói rằng a không chia hết cho b (ab).
2. Các tính chất về phép chia hết. (10 tính chất)
1) Số 0 chia hết cho mọi số b(0.
2) Số a chia hết cho mọi a(0.
3) Nếu a: b, b: c thì ac.
4) Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b và a-b đều chia hết cho m.
5) - Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a+b và a-b đều không chia hết cho m.
- Nếu tổng hoặc hiệu hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
6) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. Suy ra a m thì an : m (n(N*).
7) Nếu a: m, b: n thì ab : mn
Suy ra nếu a : b thì an : bn.
8) Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của hai số đó.
9) Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
10) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p. Suy ra nếu an p, p là ngyên tố thì a p.
3. Các dấu hiệu chia hết. (9 dấu hiệu)
Cho số tự nhiên M = anan-1...a2a1a0.
1) M2 ( a0 ((0; 2; 4; 6; 8(
2) M5 ( a0 ((0; 5(
3) M3 ( (an-1 + an-1 +...+ a1 + a0) 3
4) M9 ( (an-1+ an-1 +...+ a1 + a0) 9
5) M4 ( a1 a0 4
6) M25 ( a1 a0 25
7) M8 ( a2 a1 a0 8
8) M125 ( a2 a1 a0 125
9) M11 ( ((a0 + a2 +...) - (a1 + a3 +...)( 11
( ((a1 + a3 +...) - (a0 + a2 +...)( 11
4. Các phương pháp giải các bài toán về chia hết.
Có các phương pháp chính sau:
PP 1.Để chứng minh A(n) chia hết cho một số nguyên tố p,có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p
Ví dụ1:Chứng minh rằng A(n)= n(n2-+1)(n2+4) 5 với mọi số nguyên n.
Giải: Xét mọi trường hợp:
Với n5 ,rõ ràng A(n) 5
Với n=5k1 n2= 25k2 10 5 A(n) 5
Với n= 5h2 n2= 25k2 20k+4 5n2+1 5 A(n) 5
A(n) là tích của ba thừa số trong mọi trường hợp đều có một thừa số chia hết cho 5 vậy A(n) 5
PP 2. .Để chứng minh A(n) chia hết cho một hợp số m,ta phân tích m ra thừa số.Giả sử m=p.q.Nếu p và q là số nguyên tố